☆ PGCD égaux - Vers le supérieur- Corrigé

Énoncé

Soit \(a\) , \(b \in \mathbb{N}^\ast\) . On pose \(A=5a+6b\) et \(B=6a+7b\) .

1. Démontrer que \(\mathscr{D}(a;b) \subset \mathscr{D}(A;B)\) .

2. a. Calculer \(6B-7A\) .
    b. Exprimer \(b\) en fonction de \(A\) et \(B\) .
    c. En déduire que \(\mathscr{D}(A;B) \subset \mathscr{D}(a;b)\) .

3. En déduire que \(\mathrm{PGCD}(A;B)=\mathrm{PGCD}(a;b)\) .

Solution

1. Soit \(d \in \mathscr{D}(a;b)\) . Il existe \(a'\) , \(b' \in \mathbb{Z}\) tels que \(a=a'd\)  et \(b=b'd\) . 
On en déduit que \(\begin{align*}A=5a+6b=5a'd+6b'd=(5a'+6b')d\end{align*}\)  
et \(\begin{align*}B=6a+7b=6a'd+7b'd=(6a'+7b')d\end{align*}\)  
donc \(d\) divise à la fois \(A\) et \(B\) , et donc \(d \in \mathscr{D}(A;B)\) .
Par conséquent, \(\mathscr{D}(a;b) \subset \mathscr{D}(A;B)\) .

2. a. On a \(6B-7A=6(6a+7b)-7(5a+6b)=36a+42b-35a-42b=a\)  
donc \(6B-7A=a\) .

b. En s'inspirant de la question précédente, on remarque que  \(\begin{align*}6A-5B=6(5a+6b)-5(6a+7b)=30a+36b-30a-35b=b\end{align*}\)  
donc \(b=6A-5B\) .

c. Soit \(d \in \mathscr{D}(A;B)\) . Il existe \(A'\) , \(B' \in \mathbb{Z}\) tels que \(A=A'd\) et \(B=B'd\) .
On en déduit que 
\(\begin{align*}a=6B-7A=6B'd-7A'd=(6B'-7A')d\ \ \text{ et } \ \b=6A-5B=6A'd-5B'd=(6A'-5B')d\end{align*}\) donc \(d\) divise à la fois \(a\) et \(b\) , et donc \(d \in \mathscr{D}(a;b)\) .
Par conséquent, \(\mathscr{D}(A;B) \subset \mathscr{D}(a;b)\) .

3. D'après les questions précédentes, on a l'égalité \(\mathscr{D}(a;b)=\mathscr{D}(A;B)\) par double inclusion.
On en déduit que ces deux ensembles ont le même plus grand élément, autrement dit \(\mathrm{PGCD}(a;b)=\mathrm{PGCD}(A;B)\) .